[幾何学的形態計測の原則と方法]

幾何学的形態計測（GM）の基本概念、概念、および方法が考慮されます。このアプローチは、形態学的オブジェクトの表面上の特定の規則に従って位置するランドマーク座標の多変量解析を意味します。GMの目的は、形態学的オブジェクト間の形状の違いを明らかにすることであり、そのような形で「サイズ係数」が除外されます。GMは、その表面に分布しているポイントを持つハイパー球として定義されるケンドールの空間（KS）の概念に基づいています。これらのポイントは、整列したランドマーク構成として定義される形状です。KSは非ユークリッドの空間であり、Procrustesと呼ばれるメトリックは、他の形状が揃って比較される参照形状のランドマーク構成によって定義されます。形状間の違いは、それぞれのポイント間の距離の距離として測定されます。形状の比較に適用される多変量統計の線形方法のために、それぞれのポイントが接線面（接線空間）に投影され、接線点は参照によって定義されます。GMには、2つの主要な形状比較方法があります。ProcrustesSuperposition（最小二乗分析のバージョン）と薄いプレートスプライン分析です。最初のケースでは、Procrustes残差は、比較される形状の等尺性アラインメントの後に残っている結果変数です。すべてのランドマークにわたって彼らの合計により、これらの形状の間の距離が延期されます。Procrustes距離は、ユークリッド距離と同じように多変量解析で使用できます。2番目のケースでは、ランドマーク構成の完全なアイデンティティまでストレッチ/圧縮とせん断することにより、形状は参照に適合します。結果として得られる曲げエネルギーマトリックスの固有ベクトルは、新しい形状変数として定義されます。これは、参照によって定義された原点を持つ別の形状空間を生成する主要なワープです。主要な形状の投影は、主要なワープに比較されていることは部分的なワープを生成し、それらの共分散行列分解は固有ベクトルへの分解により、主成分に類似した相対的なワープを生成します（特に、それらは相互に直交しています）。部分的なワークと相対ワープの両方は、多くの多変量統計分析で定量的形状変数として使用できます。薄板スプライン分析の結果は、形状の違いのタイプ、量、局在を表示する変換グリッドによってグラフィカルに表現できます。GMで使用されるサンプル組成とランドマークの位置の基底ルールが考慮されます。現在、2D形態学的オブジェクトは、GMアプリケーションに最も適しています。3つのタイプの実際のランドマーク、さらにセミランドマークと「仮想」ランドマークを認識することが重要です。薄い板のスプライン分析のいくつかの手順は、いくつかの研究症例と、GM結果へのいくつかの標準的な多変量法のアプリケーションによって例示されると見なされます。それらは、異なる形状と形状といくつかの非形状変数（線形測定など）の間の相関を評価することを可能にします。形態学的構造の形状によって生物間の違いを評価する。形状間の相関と違いの両方を最も考慮したランドマークを識別するため。GM用の最も人気のあるソフトウェアの注釈付きリストが提供されます。

The basic concepts, notions and methods of geometric morphometrics (GM) are considered. This approach implies multivariate analysis of landmark coordinates located following certain rules on the surface of a morphological object. The aim of GM is to reveal differences between morphological objects by their shapes as such, the "size factor" being excluded. The GM is based on the concept of Kendall's space (KS) defined as a hypersphere with points distributed on its surface. These points are the shapes defined as aligned landmark configurations. KS is a non-Euclidian space, its metrics called Procrustes is defined by landmark configuration of a reference shape relative to which other shapes are aligned and compared. The differences among shapes are measured as Procrustes distances between respective points. For the linear methods of multivariate statistics to be applied to comparison of shapes, the respective points are projected onto the tangent plane (tangent space), the tangent point being defined by the reference. There are two principal methods of shape comparisons in GM: the Procrustes superimposition (a version of the least squares analysis) and thin-plate spline analysis. In the first case, Procrustes residuals are the outcome shape variables which remain after isometric alignment of the shapes being compared. Their summation over all landmarks yields Procrustes distances among these shapes. The Procrustes distances can be used in multivariate analyses just as the Euclidian distances. In the second case, the shapes are fitted to the references by stretching/compressing and shearing until complete identity of their landmark configurations. Eigenvectors of resulting bending energy matrix are defined as new shape variables, principal warps which yield another shape space with the origin defined by the reference. Projections of the shapes being compared onto principal warps yield partial warps, and their covariance matrix decomposition into eigenvectors yields relative warps which are similar to principal components (in particular, they are mutually orthogonal). Both partial and relative warps can be used in many multivariate statistic analyses as quantitative shape variables. Results of thin-plate spline analysis can be represented graphically by transformation grid which displays type, amount and localization of the shape differences. Basis rules of sample composition and landmark positioning to be used in GM are considered. At present, rigid (with minimal degrees of freedom) 2D morphological objects are most suitable for GM applications. It is important to recognize three type of real landmarks, and additionally semi-landmarks and "virtual" landmarks. Some procedures of thin-plate spline analysis are considered exemplified by some study cases, as well as applications of some standard multivariate methods to GM results. They make it possible to evaluate correlation between different shapes, as well as between a shape and some non-shape variables (linear measurements etc); to evaluate the differences among organisms by shape of a morphological structure; to identify landmarks which most accounted for both correlation and differences between the shapes. An annotated list of most popular softwares for GM is provided.