非線形状態空間再建のための一般化定理

Takensの定理（1981）は、単一の時系列の遅れ変数をプロキシ変数として使用して、基礎となる動的プロセスのアトラクタを再構築する方法を示しています。単一の時系列からの状態空間再建（SSR）は、自然および人間の世界で遍在するように見える複雑で非線形システムの分析のための強力なアプローチでした。これらの方法の主な欠点は、アトラクタの再構築の現象学的性質です。さらに、応用研究では、これらの単一の時系列の再構成は、複数の動的に結合された時系列を再構成に含めることにより、より機械的なモデルを提供することにより、アドホックを改善できることが多いことが示されています。ここでは、成長する文献に追加されてTakensの作業を一般化し、アトラクタの再構築に複数の時系列を使用する方法を示す3つの分析的証拠を提供します。これらの拡張された結果（Takensの定理は特別なケースです）は、同じ動的マニホールドに関連すると考えられる変数の平行時系列観測を持つ多種多様な自然システムに適用されます。変数のさまざまな組み合わせ（およびその遅れ）から作成された複数の埋め込みによって提供される潜在的な情報レバレッジは、組み合わせた生態学的システム、地球物理システムなどの自然システムの並行した観測を活用するための新しい応用技術のための道を開くことができます。および金融システム。このペーパーは、自然科学のSSRアプリケーションのこの潜在的な成長エリアを正当化し、開くことを支援することを目的としています。

Takens' theorem (1981) shows how lagged variables of a single time series can be used as proxy variables to reconstruct an attractor for an underlying dynamic process. State space reconstruction (SSR) from single time series has been a powerful approach for the analysis of the complex, non-linear systems that appear ubiquitous in the natural and human world. The main shortcoming of these methods is the phenomenological nature of attractor reconstructions. Moreover, applied studies show that these single time series reconstructions can often be improved ad hoc by including multiple dynamically coupled time series in the reconstructions, to provide a more mechanistic model. Here we provide three analytical proofs that add to the growing literature to generalize Takens' work and that demonstrate how multiple time series can be used in attractor reconstructions. These expanded results (Takens' theorem is a special case) apply to a wide variety of natural systems having parallel time series observations for variables believed to be related to the same dynamic manifold. The potential information leverage provided by multiple embeddings created from different combinations of variables (and their lags) can pave the way for new applied techniques to exploit the time-limited, but parallel observations of natural systems, such as coupled ecological systems, geophysical systems, and financial systems. This paper aims to justify and help open this potential growth area for SSR applications in the natural sciences.