交差免疫を伴うワクチンモデルの分析：2つの競合する感染株が​​いつ共存できるのでしょうか？

ここでは、ポルコとブロワーによって提案された交差免疫を使用してワクチンモデルを分析します[1]。ポルコとブロワー[1]は、ワクチン接種が競争のバランスをシフトして、ワクチン接種なしでは競争し、ワクチン接種が異なる株の共存を促進する可能性があることを示しています。それらの結果は主に数値シミュレーションを通じて得られているため、競争バランスまたは共存の変化が発生する条件は完全には確立されていません。少なくとも均衡の観点から、その行動をかなり完全に説明します。ワクチン接種が競争バランスの変化につながる可能性のある正確な条件を見つけ、これらの条件下では、共存平衡が存在する範囲のワクチン接種率が常に存在することを示しています。また、両方の単形平衡が安定している「双方向性」領域には、共存平衡が存在する（そして不安定である）ことがわかります。この事実は、病原体株間の競合モデルではめったに観察されませんでした。

We analyse here the vaccine model with cross-immunity proposed by Porco and Blower [1]. Porco and Blower [1] show that vaccination can shift the competitive balance in favour of a strain that, without vaccination, would be out-competed and that vaccination can also promote coexistence of different strains, something that normally is not expected [2]. Their results have been mainly obtained through numerical simulations, so that the conditions under which a shift in competitive balance or coexistence occurs have not been fully established. We give a rather complete description of its behaviour, at least in terms of equilibria. We find the exact conditions under which vaccination may lead to a shift in competitive balance and show that, under these conditions, there always exist a range of vaccination rates under which a coexistence equilibrium exists. We also find that a coexistence equilibrium exists (and is unstable) in a 'bi-stability' region, where both monomorphic equilibria are stable. This fact has been rarely observed in models of competition between pathogen strains.