化学マスター方程式の部分微分方程式近似の構造と精度

化学速度のメソスコピックな説明である化学マスター方程式は、いくつかの単純なケースでのみ正確に解決できます。分析的操作は、方程式の離散特性に由来するため、Master方程式の2次の部分微分方程式近似、Fokker-Planck方程式の開発にかなりの努力が投資されています。ここでは、2つの異なるタイプの高次部分差分近似を検討します。1つはシステムサイズの拡張から、もう1つはKRAMERS-MOYAL拡張から派生し、任意の数の単独および単一分類および任意の数で構成される化学反応ネットワークの予測の精度を導き出します。二分子反応。特に、Kramers-Moyal膨張からの次数qの部分微分方程式近似は、変動の分散のω（ - （2q-3）/2）の正確な分子の平均数の推定につながることを示しています。ω（ - （2q-5）/2）を順序付けるために正確な分子の数、およびω（ - （Q-2））を順序付けるために正確な歪度。また、大きなQの場合、推定値の精度は、近似順序2Qのシステムサイズ拡張からの部分微分方程式近似によってのみ一致できることを示しています。したがって、Kramers-Moyalの膨張に基づく部分微分近似は、一般に、システムサイズの拡張から導き出された同じ順序の近似よりも、平均、分散、および歪度のかなり正確な推定値につながると結論付けます。

The mesoscopic description of chemical kinetics, the chemical master equation, can be exactly solved in only a few simple cases. The analytical intractability stems from the discrete character of the equation, and hence considerable effort has been invested in the development of Fokker-Planck equations, second-order partial differential equation approximations to the master equation. We here consider two different types of higher-order partial differential approximations, one derived from the system-size expansion and the other from the Kramers-Moyal expansion, and derive the accuracy of their predictions for chemical reactive networks composed of arbitrary numbers of unimolecular and bimolecular reactions. In particular, we show that the partial differential equation approximation of order Q from the Kramers-Moyal expansion leads to estimates of the mean number of molecules accurate to order Ω(-(2Q-3)/2), of the variance of the fluctuations in the number of molecules accurate to order Ω(-(2Q-5)/2), and of skewness accurate to order Ω(-(Q-2)). We also show that for large Q, the accuracy in the estimates can be matched only by a partial differential equation approximation from the system-size expansion of approximate order 2Q. Hence, we conclude that partial differential approximations based on the Kramers-Moyal expansion generally lead to considerably more accurate estimates in the mean, variance, and skewness than approximations of the same order derived from the system-size expansion.