無限に大きな等方性ランダムマトリックスの産物のための通勤法

等方性ランダムマトリックスのアンサンブルは、任意の単一マトリックスによる左（および右）乗算の下の確率測定の不変性によって定義されます。大きな等方性ランダムマトリックスの乗算は、無限マトリックスサイズn→∞の限界におけるスペクトル通信であり、自己平均的であることを示します。スペクトル通勤の概念は、そのようなマトリックスの積ABCの固有値密度は、マトリックス乗算の順序とは無関係であることを意味します。たとえば、マトリックスABCDはADCBと同じ固有値密度を持っています。次に、自己解放の概念は、nependentが象徴的にAAAによって示されるN独立性が同一に分布したランダムマトリックスの積が、描画された単一のマトリックスの対応する電力A（n）と同じ固有値密度を持っていることを意味します。下にあるマトリックスアンサンブルから。たとえば、ABCCABCの固有値密度は、A（2）B（2）C（3）の固有値密度と同じです。また、等方性マトリックスの固有値と特異な値密度の特異な挙動と、小さな固有値λ→0の製品についても説明します。固有値密度と特異値密度の起源の特異点は、n→∞：等方性ランダムマトリックスの固有値密度には、原点にパワーローの特異点があることを示します。〜|λ|（-s）パワーsε（0,2）その特異値の密度がパワー法の特異点を持っている場合にのみ、パワーσ= s/（4-sでλ（-σ））。これらの結果は、限界n→∞で分析的に取得されます。これらの結果は、大規模だが有限Nの数値シミュレーションを補完し、等方性ランダムマトリックスの最も一般的なアンサンブルの有限サイズの効果を議論します。

Ensembles of isotropic random matrices are defined by the invariance of the probability measure under the left (and right) multiplication by an arbitrary unitary matrix. We show that the multiplication of large isotropic random matrices is spectrally commutative and self-averaging in the limit of infinite matrix size N→∞. The notion of spectral commutativity means that the eigenvalue density of a product ABC... of such matrices is independent of the order of matrix multiplication, for example, the matrix ABCD has the same eigenvalue density as ADCB. In turn, the notion of self-averaging means that the product of n independent but identically distributed random matrices, which we symbolically denote by AAA..., has the same eigenvalue density as the corresponding power A(n) of a single matrix drawn from the underlying matrix ensemble. For example, the eigenvalue density of ABCCABC is the same as that of A(2)B(2)C(3). We also discuss the singular behavior of the eigenvalue and singular value densities of isotropic matrices and their products for small eigenvalues λ→0. We show that the singularities at the origin of the eigenvalue density and of the singular value density are in one-to-one correspondence in the limit N→∞: The eigenvalue density of an isotropic random matrix has a power-law singularity at the origin ~|λ|(-s) with a power sε(0,2) when and only when the density of its singular values has a power-law singularity ~λ(-σ) with a power σ=s/(4-s). These results are obtained analytically in the limit N→∞. We supplement these results with numerical simulations for large but finite N and discuss finite-size effects for the most common ensembles of isotropic random matrices.