メッシュの適応によるランビアのノードでの電気拡散の改善

複雑な形状の神経構造では、電気拡散を正確にモデル化するために、ポアソン - ナネストプランク（PNP）方程式の数値解像度が必要です。この形式主義により、ケーブル理論に依存するモデルで達成することが不可能な任意の空間的および時間的解像度で、イオン濃度と電界（膜から離れていても）を記述することができます。ただし、複雑なジオメトリでPNP方程式を解くには、空間離散化、時間的離散化、または線形化されたシステムの解像度のいずれかに関連する複雑な数値的困難を処理することが含まれ、多くの場合、このアプローチの使用を制限する大きな計算リソースが必要です。本論文では、有限要素法（FEM）を使用して、不連続な特性（膜細胞質界面で発生するなど）を持つドメイン上のPNP方程式を解くための最良の方法を調査します。1）単純な2Dジオメトリを使用して分析ソリューションとの比較を可能にすると、メッシュの適応は、計算努力を制限しながら正確なソリューションを取得するための非常に（ほとんどではないにしても）効率的な方法であることを示します。たとえば、ミエリンの非均一な幅のために膜内の電位の非線形分布を示し、デバイ層の電界の空間プロファイルへの影響を調査します。

In neural structures with complex geometries, numerical resolution of the Poisson-Nernst-Planck (PNP) equations is necessary to accurately model electrodiffusion. This formalism allows one to describe ionic concentrations and the electric field (even away from the membrane) with arbitrary spatial and temporal resolution which is impossible to achieve with models relying on cable theory. However, solving the PNP equations on complex geometries involves handling intricate numerical difficulties related either to the spatial discretization, temporal discretization or the resolution of the linearized systems, often requiring large computational resources which have limited the use of this approach. In the present paper, we investigate the best ways to use the finite elements method (FEM) to solve the PNP equations on domains with discontinuous properties (such as occur at the membrane-cytoplasm interface). 1) Using a simple 2D geometry to allow comparison with analytical solution, we show that mesh adaptation is a very (if not the most) efficient way to obtain accurate solutions while limiting the computational efforts, 2) We use mesh adaptation in a 3D model of a node of Ranvier to reveal details of the solution which are nearly impossible to resolve with other modelling techniques. For instance, we exhibit a non linear distribution of the electric potential within the membrane due to the non uniform width of the myelin and investigate its impact on the spatial profile of the electric field in the Debye layer.