非線形分数粘弾性生体材料をモデル化するための効率的で正確な方法

計算バイオメカニクスは、生物医学工学に重要な役割を果たします。モデリングを使用して、病態生理学、治療、デバイスの設計を理解します。実験的証拠は、ほとんどの組織の機械的応答が粘弾性であることを示していますが、計算群集の現在の生体力学的モデルはしばしば過弾性材料モデルを想定しています。部分的な粘弾性構成モデルは、粘弾性材料の反応をキャプチャするために文献で成功裏に使用されています。ただし、これらのモデルの計算プラットフォームへの翻訳は依然として限られています。多くの実験的に導出された粘弾性構成モデルは、3次元シミュレーションには適していません。さらに、分数誘導体の使用は計算的に禁止されています。多くの現在の数値近似には、計算コスト（n t 2）と𝒪（nt）のストレージコストがあります（NTは時間ステップ数を示します）。この論文では、Caputo派生物の新しい数値近似を提示します。これは、古典的な時間的導関数を離散化するために使用されるものと同様の再発関係を悪用し、時間の経過とともに修正されたストレージコストの計算コストを与えます。近似は数値アプリケーション用に最適化されており、メソッドの有効性を示すためにエラー推定値が提示されます。有限要素の固体力学フレームワークに統合された方法は、線形粘弾性の場合には無条件に安定していることが示されています。次に、計算生体力学的フレームワークに統合され、いくつかの数値的例では、分析テストを含む、分析的分数微分方程式、および計算生体力学モデルの問題におけるメソッドの精度と計算効率を確認しました。

Computational biomechanics plays an important role in biomedical engineering: using modeling to understand pathophysiology, treatment and device design. While experimental evidence indicates that the mechanical response of most tissues is viscoelastic, current biomechanical models in the computational community often assume hyperelastic material models. Fractional viscoelastic constitutive models have been successfully used in literature to capture viscoelastic material response; however, the translation of these models into computational platforms remains limited. Many experimentally derived viscoelastic constitutive models are not suitable for three-dimensional simulations. Furthermore, the use of fractional derivatives can be computationally prohibitive, with a number of current numerical approximations having a computational cost that is 𝒪 ( N T 2 ) and a storage cost that is 𝒪(NT ) (NT denotes the number of time steps). In this paper, we present a novel numerical approximation to the Caputo derivative which exploits a recurrence relation similar to those used to discretize classic temporal derivatives, giving a computational cost that is 𝒪(NT ) and a storage cost that is fixed over time. The approximation is optimized for numerical applications, and an error estimate is presented to demonstrate the efficacy of the method. The method, integrated into a finite element solid mechanics framework, is shown to be unconditionally stable in the linear viscoelastic case. It was then integrated into a computational biomechanical framework, with several numerical examples verifying the accuracy and computational efficiency of the method, including in an analytic test, in an analytic fractional differential equation, as well as in a computational biomechanical model problem.