確率的リセット下での幾何学的ブラウン運動：静止しているが非節点のプロセス

幾何学的なブラウン運動に対する確率的リセットの効果を、非定常および非節のダイナミクスのための標準的な確率的乗算プロセスであるドリフト（GBM）を使用します。リセットは、プロセスの突然の中断であり、そのダイナミクスを連続して更新します。リセットをリセットするとGBMが固定されているが、結果として生じるプロセスは非節点のままであることを示しています。非常に驚くべきことに、リセットの効果は、非エルゴードの行動を示す上で極めて重要です。特に、3つの異なる長年の体制が観察されます。消光状態、不安定な状態、リセット強度に応じて安定したアニール状態です。特に、最後の体制では、システムは自己平均化されているため、サンプル平均は常にリセット中のGBMのスタンドアロン機能を確立するエルゴードの動作を模倣します。重要なことに、上記の体制は、最適なリセッティング速度によって最小化できる自己平均期間によって十分に分離されています。私たちの結果は、株式市場の崩壊または投資ポートフォリオの再構成から発するデータを解釈するのに役立ちます。

We study the effects of stochastic resetting on geometric Brownian motion with drift (GBM), a canonical stochastic multiplicative process for nonstationary and nonergodic dynamics. Resetting is a sudden interruption of a process, which consecutively renews its dynamics. We show that, although resetting renders GBM stationary, the resulting process remains nonergodic. Quite surprisingly, the effect of resetting is pivotal in manifesting the nonergodic behavior. In particular, we observe three different long-time regimes: a quenched state, an unstable state, and a stable annealed state depending on the resetting strength. Notably, in the last regime, the system is self-averaging and thus the sample average will always mimic ergodic behavior establishing a stand-alone feature for GBM under resetting. Crucially, the above-mentioned regimes are well separated by a self-averaging time period which can be minimized by an optimal resetting rate. Our results can be useful to interpret data emanating from stock market collapse or reconstitution of investment portfolios.