形状の統計モデルにおけるマルチレベル主成分分析の病理の探求

3D顔面イメージングは、歯科および診断と治療計画の観点から有用なツールです。グループ間PCA（BGPCA）は、BGPCAのさまざまな「病理」が最近提案されていますが、生物学的形態計算の形状を分析するために使用されている方法です。MONTE CARLO（MC）シミュレーションデータセットは、マルチレベルPCA（MPCA）の「病理」を調査するためにここに作成されました。ここでは、2つのレベルのMPCAがBGPCAに相当します。MC実験の最初のセットには、300のMC実験の2番目のセットでは、3Dの顔の形状を記述する相関多変量MCデータを使用したのに対し、300の非相関する正規分布変数が含まれていました。BGPCA（およびMPCAも）が実際にはない場合、グループ間でコンポーネントスコアの強い違いの誤った印象を与える可能性があることを示した他の研究者からの数値実験の結果を確認しました。MPCAを介したコンポーネントスコアのこれらの偽の違いは、グループあたりのサンプルサイズが増加するにつれて大幅に減少しました。MPCAを介した固有値は、グループあたりのサンプルサイズの不均衡によって強く影響を受けることがわかりましたが、この問題は、2レベルモデルの最尤ソリューションによって示唆される重み付きの共分散マトリックスを使用して削除されました。ただし、これは、これらのシミュレーションのグループ間の偽の違いの問題を解決しませんでした。これは、1つのグループの非常に小さなサンプルサイズによって駆動されました。「経験則」のみとして、すべての実験は、すべてのグループのグループごとのサンプルサイズが少なくとも変数の数に等しい場合、合理的な結果が得られることを示しています。興味深いことに、MPCAを介した両方のレベルにわたるすべての固有値の合計は、すべての実験でグループごとのサンプルサイズの逆とほぼ直線的にスケーリングされました。最後に、ここで検討した2つの実験で、グループ間変動をMCデータ生成モデルに明示的に追加しました。MPCAを介したすべての固有値の合計の結果は、この場合、標準の「単一レベル」PCAがこの量を過小評価していたのに対し、この場合、分散の総量の漸近量を予測しました。

3D facial surface imaging is a useful tool in dentistry and in terms of diagnostics and treatment planning. Between-group PCA (bgPCA) is a method that has been used to analyse shapes in biological morphometrics, although various "pathologies" of bgPCA have recently been proposed. Monte Carlo (MC) simulated datasets were created here in order to explore "pathologies" of multilevel PCA (mPCA), where mPCA with two levels is equivalent to bgPCA. The first set of MC experiments involved 300 uncorrelated normally distributed variables, whereas the second set of MC experiments used correlated multivariate MC data describing 3D facial shape. We confirmed results of numerical experiments from other researchers that indicated that bgPCA (and so also mPCA) can give a false impression of strong differences in component scores between groups when there is none in reality. These spurious differences in component scores via mPCA decreased significantly as the sample sizes per group were increased. Eigenvalues via mPCA were also found to be strongly affected by imbalances in sample sizes per group, although this problem was removed by using weighted forms of covariance matrices suggested by the maximum likelihood solution of the two-level model. However, this did not solve problems of spurious differences between groups in these simulations, which was driven by very small sample sizes in one group. As a "rule of thumb" only, all of our experiments indicate that reasonable results are obtained when sample sizes per group in all groups are at least equal to the number of variables. Interestingly, the sum of all eigenvalues over both levels via mPCA scaled approximately linearly with the inverse of the sample size per group in all experiments. Finally, between-group variation was added explicitly to the MC data generation model in two experiments considered here. Results for the sum of all eigenvalues via mPCA predicted the asymptotic amount for the total amount of variance correctly in this case, whereas standard "single-level" PCA underestimated this quantity.