トポロジーブートストラップのアプリケーションを備えた永続的な相同性のサイクル登録

2つのスペース（またはろ過）の持続的な相同性表現を比較するための新しいアプローチを提案します。一般的に使用される方法は、適切なメトリック（Wassersteinなど）とともに、持続図や持続性の景観などの数値の要約に基づいています。これらの要約は計算目的に役立ちますが、永続的な相同性が提供できる実際のトポロジー情報のわずかなものにすぎません。代わりに、私たちのアプローチは、データ空間内の2つのトポロジカル表現を直接比較します。2つの異なるスペースの個々の永続的なサイクル間の対応関係を定義し、この対応を計算する方法を考案することにより、そうします。サイクルのマッチングは、持続間隔と各機能の空間配置の両方に基づいています。ポイントクラウドデータの現実機能とノイズを区別するために統計的ブートストラップメソッドを使用するトポロジー推論のコンテキストで新しいフレームワークを実証します。

We propose a novel approach for comparing the persistent homology representations of two spaces (or filtrations). Commonly used methods are based on numerical summaries such as persistence diagrams and persistence landscapes, along with suitable metrics (e.g., Wasserstein). These summaries are useful for computational purposes, but they are merely a marginal of the actual topological information that persistent homology can provide. Instead, our approach compares between two topological representations directly in the data space. We do so by defining a correspondence relation between individual persistent cycles of two different spaces, and devising a method for computing this correspondence. Our matching of cycles is based on both the persistence intervals and the spatial placement of each feature. We demonstrate our new framework in the context of topological inference, where we use statistical bootstrap methods in order to differentiate between real features and noise in point cloud data.