分離可能なガウスニューラルネットワークを使用した移動孤立波を学ぶ

この論文では、機械学習アプローチを適用して、部分微分方程式（PDE）のファミリーによって記述されたさまざまな物理システムを介した移動孤立波を学習します。私たちのアプローチは、分離可能なガウスニューラルネットワーク（SGNN）と呼ばれる新しい解釈可能なニューラルネットワーク（NN）アーキテクチャを、物理学に基づいたニューラルネットワーク（PINN）のフレームワークに統合します。空間データと時間データを独立した入力として扱う従来のPINNとは異なり、現在の方法は波の特性を活用して、データをいわゆる共作波フレームに変換します。この再定式化は、大規模な計算ドメインに適用された場合のPINNの伝播障害の問題に効果的に対処します。ここで、SGNNアーキテクチャは、PDEの（1+1）次元のBファミリー内の単一ピーコン、マルチピーコン、および固定ソリューション（「左子」と呼ばれる）の堅牢な近似能力を示しています。さらに、調査を拡大し、ABファミリーのピーコンソリューションだけでなく、（2+1）次元のRosenau-HymanファミリーのPDEのコンパクトンソリューションも調査します。多層パーセプトロン（MLP）との比較分析により、SGNNはニューロンの10分の1未満と同等の精度を達成し、複雑な非線形PDEを解く際にその効率とより広い応用の可能性を強調していることが明らかになりました。

In this paper, we apply a machine-learning approach to learn traveling solitary waves across various physical systems that are described by families of partial differential equations (PDEs). Our approach integrates a novel interpretable neural network (NN) architecture, called Separable Gaussian Neural Networks (SGNN) into the framework of Physics-Informed Neural Networks (PINNs). Unlike the traditional PINNs that treat spatial and temporal data as independent inputs, the present method leverages wave characteristics to transform data into the so-called co-traveling wave frame. This reformulation effectively addresses the issue of propagation failure in PINNs when applied to large computational domains. Here, the SGNN architecture demonstrates robust approximation capabilities for single-peakon, multi-peakon, and stationary solutions (known as "leftons") within the (1+1)-dimensional, b-family of PDEs. In addition, we expand our investigations, and explore not only peakon solutions in the ab-family but also compacton solutions in (2+1)-dimensional, Rosenau-Hyman family of PDEs. A comparative analysis with multi-layer perceptron (MLP) reveals that SGNN achieves comparable accuracy with fewer than a tenth of the neurons, underscoring its efficiency and potential for broader application in solving complex nonlinear PDEs.